県外にいる親戚に最短で介護認定を受けるにはどうしたらいい? 

地域によって担当部署が違うので、申請をうけたい方の住民票のある市役所(もしくは区役所)か地域包括支援センターに電話をして、申請をうけたいことを伝えて手続きを聞いてください。受ける方の状態によって申請の仕方を教えてくれます。

2度手間を防ぐために、くれぐれも訪問するまえに、問い合わせをしてください(^.^)